Giải tích toán học liên quan đến tính chất của các hàm số. Nó đề cập đến các khái niệm như tính liên tục, giới hạn, đạo hàm và tích phân, do đó cung cấp một nền tảng khắt khe cho tính toán của vi phân được giới thiệu bởi Isaac Newton và Gottfried Leibniz vào thế kỷ 17. Giải tích toán học chức năng nghiên cứu chức năng của các số thực, trong khi giải tích toán học phức tạp mở rộng các khái niệm nói trên đến các chức năng của các số phức. Giải tích toán học chức năng là một nhánh của giải tích toán học để nghiên cứu không gian vectơ vô hạn và quan điểm hoạt động như các điểm trong những không gian này.

Đại số trừu tượng không phải là nhầm lẫn với các thao tác của công thức được bao gồm trong giáo dục trung học. Nó nghiên cứu tập hợp cùng với các hoạt động nhị phân được xác định trên chúng. Các tập hợp và các phép toán nhị phân của chúng có thể được phân loại theo các thuộc tính của chúng: ví dụ, nếu một hoạt động kết hợp trên một bộ có chứa một phần tử nhận diện và đảo ngược cho mỗi thành viên của bộ, tập hợp và hoạt động được coi là một nhóm toán học. Các cấu trúc khác bao gồm vành, trường, không gian vectơ và dàn.

Hình học là nghiên cứu về hình dạng và không gian, đặc biệt là các nhóm chuyển đổi hoạt động trên không gian. Ví dụ, hình học xạ ảnh là về nhóm các phép biến đổi xạ ảnh hoạt động trên mặt phẳng chiếu thực, trong khi đó hình học nghịch đảo liên quan đến nhóm các phép biến đổi nghịch tác động trên mặt phẳng phức tạp mở rộng.

Lý thuyết số là lý thuyết về số nguyên dương. Nó được dựa trên những ý tưởng như chia và sự đồng dạng. Định lý cơ bản của nó tuyên bố rằng mỗi số nguyên dương có một nhân tố nguyên tố duy nhất. Trong một số khía cạnh, nó là lĩnh vực dễ tiếp thu nhất trong toán học thuần túy cho công chúng: ví dụ như giả thuyết Goldbach dễ dàng được nêu ra (nhưng vẫn chưa được chứng minh hay bác bỏ). Theo cách khác nó là quy luật dễ tiếp cận nhất; ví dụ như chứng minh của Andrew Wiles rằng phương trình Fermat không có giải pháp không cần thiết đòi hỏi sự hiểu biết về các dạng thức tự nhiên, mặc dù bản chất của tự nhiên không tìm thấy một vị trí trong vật lý hay nói chung về công khai.

Topo học là một mở rộng hiện đại của hình học. Thay vì tập trung vào các kích thước của vật thể và phép đo chính xác của chúng, topo bao gồm các thuộc tính của không gian hoặc các đối tượng được giữ gìn dưới các thao tác trơn tru như uốn hoặc xoắn (nhưng không có rách hoặc cắt). Các trường con của topo học tương tác với các ngành khác của toán học thuần túy: tô pô truyền thống sử dụng các ý tưởng từ phân tích, chẳng hạn như không gian số liệu, và topo đại số dựa trên các ý tưởng từ các tổ hợp cộng thêm các phân tích.